Inecuaciones Logarítmicas
¿Qué es una inecuación logarítmica?
Una inecuación logarítmica es una desigualdad que contiene logaritmos con la incógnita en el argumento.
Propiedades importantes
Para logaritmos con base > 1
Si a > 1:
- log_a(x) > log_a(y) ⟹ x > y
- El logaritmo es creciente
Para logaritmos con base entre 0 y 1
Si 0 < a < 1:
- log_a(x) > log_a(y) ⟹ x < y
- El logaritmo es decreciente
Restricciones
El argumento del logaritmo debe ser POSITIVOSi tenemos log(x + 3) > 2, entonces:
- x + 3 > 0
- x > -3
Pasos para resolver
- Verificar que la base sea válida
- Determinar las restricciones del dominio
- Aplicar propiedades de logaritmos
- Resolver la desigualdad resultante
- Combinar con las restricciones
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Base > 1
Resolver: log₂(x) < 3
Solución:- Restricción: x > 0
- log₂(x) < 3
- x < 2³
- x < 8
- Combinando: 0 < x < 8
Ejemplo 2: Con expresión
Resolver: log(x + 1) ≥ 1 (base 10)
Solución:- Restricción: x + 1 > 0 → x > -1
- log(x + 1) ≥ 1
- x + 1 ≥ 10¹
- x + 1 ≥ 10
- x ≥ 9
- Combinando: x ≥ 9
Ejemplo 3: Logaritmo natural
Resolver: ln(2x - 1) > ln(x + 3)
Solución:- Restricciones: 2x - 1 > 0 y x + 3 > 0
→ x > 1/2 y x > -3
→ x > 1/2
- Como ln es creciente (base e > 1):
2x - 1 > x + 3
- 2x - x > 3 + 1
- x > 4
- Combinando (x > 1/2 y x > 4): x > 4
Casos especiales
Comparar con número
log_a(f(x)) > k equivale a:
- Si a > 1: f(x) > aᵏ
- Si 0 < a < 1: f(x) < aᵏ
Comparar logaritmos
Si misma base > 1:
log_a(f(x)) > log_a(g(x)) → f(x) > g(x)
Errores comunes
- Olvidar las restricciones de dominio
- Confundir el sentido de la desigualdad con base < 1
- No verificar la solución en la inecuación original
Ejercicios propuestos
- log₃(x - 2) < 2
- ln(x) ≥ -1
- log₁/₂(x + 1) > -2