Matriz Inversa

¿Qué es la matriz inversa?

La matriz inversa de una matriz A (denotada A⁻¹) es aquella que al multiplicarse por A da como resultado la matriz identidad.

A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I

Condiciones para que exista

• La matriz debe ser cuadrada (n × n)
• El determinante debe ser ≠ 0 (matriz no singular)

Fórmula para matriz 2×2

Si A = [a b; c d], entonces:

A⁻¹ = (1/det(A)) × [d -b; -c a]

Donde det(A) = ad - bc

Ejemplo resuelto 2×2

Encontrar la inversa de A = [2 1; 5 3]

Paso 1: Calcular determinante

det(A) = (2)(3) - (1)(5) = 6 - 5 = 1

Paso 2: Aplicar fórmula

A⁻¹ = (1/1) × [3 -1; -5 2] = [3 -1; -5 2]

Verificación:

A × A⁻¹ = [2 1; 5 3] × [3 -1; -5 2] = [1 0; 0 1] ✓

Método de Gauss-Jordan

Para matrices mayores:

• Formar [A | I]
• Reducir A a I mediante operaciones elementales
• El resultado es [I | A⁻¹]

Propiedades

• (A⁻¹)⁻¹ = A
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• (kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹
• det(A⁻¹) = 1/det(A)

Aplicaciones

• Resolver sistemas de ecuaciones: AX = B → X = A⁻¹B
• Transformaciones geométricas
• Criptografía
• Análisis económico

Cuándo NO existe

La matriz inversa no existe si:

• No es cuadrada
• det(A) = 0 (matriz singular)