Semejanza de Triángulos

¿Qué son triángulos semejantes?

Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma pero diferente tamaño. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Símbolo

Se usa el símbolo ~ para indicar semejanza.

△ABC ~ △DEF

Criterios de semejanza

1. Criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes.

2. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Si dos lados son proporcionales y el ángulo entre ellos es igual, los triángulos son semejantes.

3. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro, son semejantes.

Razón de semejanza

Es la proporción entre lados correspondientes:

k = a'/a = b'/b = c'/c

Propiedades

Si k es la razón de semejanza:

• Perímetros: P'/P = k
• Áreas: A'/A = k²

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Verificar semejanza

△ABC: lados 3, 4, 5

△DEF: lados 6, 8, 10

6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 Son semejantes (razón k = 2)

Ejemplo 2: Encontrar lado

△ABC ~ △DEF con k = 3

Si AB = 4 cm, ¿cuánto mide DE?

DE = AB × k = 4 × 3 = 12 cm

Aplicaciones

• Medición de alturas (sombras)
• Mapas y planos (escalas)
• Fotografía (ampliaciones)
• Arquitectura (maquetas)

Diferencia: Semejanza vs Congruencia

SemejanzaCongruencia Misma formaMisma forma y tamaño Lados proporcionalesLados iguales Símbolo: ~Símbolo: ≅